Return to site

Waarom ... + 2 = 6 NIET gelijk is aan 6 - 2 = ...

Omdat ik deze vraag onlangs van een leerkracht kreeg...

Waarom … + 2 = 6 totaal verschillend is van 6 – 2 = …! ... volgens mij :)

Een weetje voor jou als leerkracht:

Waarom is het niet goed om bij … + 2 = 6 te zeggen “Doe maar 6 – 2!”?

Wat je dan eigenlijk doet is algebra… de wiskunde van het middelbaar met de onbekende x die je moet zoeken. Je gaat dan werken met gehele getallen, positieve én negatieve dus. End at is niet de bedoeling.

Wat je dan eigenlijk doet is dit:

“Ik heb een onbekende uitgangshoeveelheid. Er komt 2 bij en dan heb ik 6.” Eigenlijk is dit x + 2 = 6 met x als de onbekende hoeveelheid. Om te weten te komen wat er verandert op een algebraïsche wijze gebeurt er dit:

x + 2 = 6

De 2 is een positief geheel getal. Dat positief geheel getal verplaats ik naar de andere kant van het gelijkheidstekenen. Daardoor verandert het toestandsteken van de 2 en wordt het –2, een negatief geheel getal.

Eigenlijk staat er dan “x = 6 + (-2)

Juist omdat dit begrijpen een inzicht in gehele getallen vraagt, is het niet goed om te lichtzinnig om te springen met de zin: “Doe maar het omgekeerde!”.

Wat er eigenlijk wiskundig gebeurt is dit:

X + 2 = 6

Ik trek aan beide zijden van het gelijkheidsteken “2” af (je doet dus -2 of je telt er –2 erbij). Dat mag ik want ik mag aan beide zijden van het gelijkheidsteken eenzelfde hoeveelheid bijtellen of aftrekken bij een optelling met gehele getallen. Dat is het ‘halterprincipe’. Als je niet meer kan volgen, maak je nu mee wat jonge kinderen vaak meemaken, zeker als we zeggen: “Bij zo’n som moet je min doen ook al staat er plus!”.

x + 2 (– 2) = 6 (– 2)

Je moet nu weten dat de twee 2’en tegenover elkaar wegvallen en dat 2-2 nul is omdat de optelling en aftrekking associatief zijn… je lag de haakjes verplaatsen.

X + (2-2)= 6 - 2

Je houdt dan het volgende over na het uitrekenen van de linker term, want x-x = 0

X + 0 = 6 – 2

x = 6 – 2

Het ‘klopt’ als uitkomst wel als je zegt dat je bij een optelling met de puntjes van voor min moet doen, maar het eerder een ongrijpbare truc dan een inzicht bijbrengen voor kinderen. Hoe kan je het dan wel op kindermaat inzichtelijk doen?

Door te werken met de uitgangshoeveelheid, de hoeveelheidsverandering end e eindhoeveelheid en wat er in de werkelijkheid gebeurt op het A’-blad en de drie diagonaal geplaatste vakken als dat nog een extra hulp is. Kortom: door concreet te maken en schematisch manipuleerbaar te maken wat eigenlijk te abstract is om inzichtelijke te vatten voor het lagere schoolkind op deze leeftijd.

Hoe kan je … + + = 6 inzichtelijk én schematisch-manipuleerbaar aanbrengen?

Ga even met de kinderen terug in de tijd…

Hoe deden we dat vroeger? Dat is de vraag nu even.

Neem een groot wit blad papier en teken drie, diagonaal geplaatste vakken erop zoals aangegeven op de tekening

Vraag de kinderen of ze nog weten hoe ze hebben leren rekenen in het eerste leerjaar. Geef hen een voorbeeld (op basis van de bewerking 4 + 2 = 6).

Zeg hierbij dat je gaat goochelen en voer een indrukwekkende show op!

Leg 2 blokken linksbovenaan.

Neem zonder dat de leerlingen het zien vier blokken in één van je handen.

“Ik heb een onbekend aantal blokken.”

“Ik krijg er twee blokken bij.”

Voeg twee blokken toe maar zorg dat de leerlingen niet zien hoeveel je er onder je hand had!

Neem alle blokken samen mee naar rechtsonder.

Schuif alles door naar rechtsonderaan en vertel: “En nu heb ik samen 6 blokken.”

Linksboven is de uitgangshoeveelheid.

Midden is de hoeveelheidsverandering.

Rechtsonder is de eindhoeveelheid.

 (Ik kan helaas geen tekeningen in deze blog toevoegen :( wat jammer is.)

Herhaal deze ‘opvallende goocheltruc’ nog één keer met de verwoording bij.

Wat gebeurt er hier?

Ik heb een onbekend aantal blokken.

Ik neem er 2 bij.

Nu heb ik er 6.

Welke bewerking zit hierachter? … + 2 = 6

Hoe los je dit inzichtelijk en met materialen op?

NIET door zomaar het omgekeerde te doen! Maak de leerlingen dat heel goed duidelijk.

Wat gaan we WEL doen? We gaan dit inzichtelijk aanpakken.

Oriënteer de leerlingen hierop: het inzichtelijk aanpakken van ‘puntoefeningen’.

Laat hen zien wat je bedoelt:

“Ik heb nu 6 blokken (laat de blokken rechtsonder zichtbaar liggen).

Verschuif de 6 blokken naar het midden.

“Er is iets gebeurd hier…. Want er kwamen er toen 2 bij.”

Laat twee blokken achter en schuif de overige (vier) blokken door naar linksboven.

Laat zien wat je onder je hand had.

“Want ik had dus al vier blokken toen ik begon.”

Mijn uitgangshoeveelheid was dus 4.

Herhaal wat je gedaan hebt onder je handen nu zichtbaar:

  • Ik heb vier blokken (linksbovenaan)
  • Er kwamen er 2 bij (schuif de twee naar het midden en leg de eerste vier erbij).
  • Schuif alles samen naar rechtsonder. Nu heb ik 6 blokken.

Wat is er gebeurd?

  • Er zijn blokken bijgekomen en “bijkomen” of “toevoegen” is een optelling als bewerking, plus dus… en geen min!

Heb ik nu de bewerking … + 2 = 6 veranderd in 6 – 2 = …?

Nee, ik heb gewerkt met een uitgangshoeveelheid, een verandering in het midden en een eindhoeveelheid. Gebruik bewust deze termen hier al.

Welke andere vorm kan je nog bedenken?

Goochel ook even met:

  • Ik heb een gekende uitgangshoeveelheid, namelijk 4 blokken. Ik heb een onbekende hoeveelheid onder mijn hand (hou 2 blokken verborgen onder je hand). Ik voeg hier in het midden de onbekende hoeveelheid bij die vier dit ik al had en schuif alles door naar de eindhoieveelheid. Ik heb er nu… 6! Welke bewerking is dit? 4 + … = 6
  • Ik heb 2 blokken (laat ze zien en schuif ze naar het midden). Hier komen er 3 bij. Schuif dan alle blokken verborgen onder je handen naar rechtsonder. Hou ze verborgen en vraag: “Hoeveel blokken heb ik nu samen?”

En nu de vraag die naar de essentie van deze les gaat:

“Op hoeveel manieren kan ik een bewerking weergeven”? Op drie! Of het nu over optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen gaat. Drie ruimtelijke manieren van rekenen, drie vormen die – als ik die kan oplossen, inzichtelijk en wel – ik alle bewerkingen in rekenverhalen kan oplossen.

“Welke drie vormen?”

  • A + …. = C
  • …. + B = C
  • A + B = ….

Die drie vormen leren herkennen in rekenproblemen is een zegen, want als je deze drie kan herkennen en oplossen, kan je elke rekenprobleem omzetten in een bewerking.

We hebben drie vormen van bewerkingen. Welke?

  • Gekende uitgangshoeveelheid en gekende hoeveelheidsverandering è dan berekenen we de eindhoeveelheid.
  • Gekende uitgangshoeveelheid en gekende eindhoeveelheid è dan moeten we de hoeveelheidsverandering zoeken. Dit kan door een optelling, aftrekking, vermenigvuldiging of deling komen.
  • Gekende hoeveelheidsverandering en gekende eindhoeveelheid è dan moeten we de uitgangshoeveelheid berekenen.

Hoewel je bij 6 + …. = 8 niet weet wat er gebeurd is tussenin, kan je toch achter het antwoord komen. Hetzelfde geldt bij de andere vormen als … + 2 = 8 en 6 + 2 = ….

Hierin zit niets nieuws.

Wat we wel gaan doen deze les is stilstaan bij welke vorm van bewerking er in het rekenverhaal zit. Die vorm gaan we leren ontdekken en we hebben daarbij deze drie vormen ter beschikking. Als je weet hoe je die drie kan aanpakken kan je alle rekenproblemen oplossen tenminste als… je de juiste vorm leert herkennen in het rekenverhaal.

Dit laatste is voor rekenzwakkere kinderen vaak te moeilijk, ook al omdat het vaak niet aangeleerd wordt. We veronderstellen te snel dat ze dit wel ‘weten’ maar dat is bij die doelgroep niet zo. Vandaar dat we er een les aan wijden.

Hoofddoel: het leren herkennen van de vorm van de bewerking in het rekenverhaal. Het telwerk op zich is deze les van ondergeschikt belang. Het herkennen van de vorm staat voorop. Let ook op bij heel rekensterke kinderen dat ze niet alleen de uitkomst vinden maar ook de vorm goed herkennen.

Als dit goed gebeurt, leg je de essentiële basis waarop de leerlingen later ook de algebra (eerste middelbaar) gebaseerd is.

Oefen op deze manier eenvoudige rekenverhaaltjes en je kinderen zullen je eeuwig en algebraïsch-dankbaar zijn! Tot in het kwadraat dus :)

Oh ja, This is the WISKIDZ-way!

meer info: www.averbode.be/wiskidz

All Posts
×

Almost done…

We just sent you an email. Please click the link in the email to confirm your subscription!

OK